Então vamos direto ao ponto:
O que significa uma integral/derivada de ordem fracionária? Qual será a interpretação geométrica deste objeto?
O que significa uma integral/derivada de ordem fracionária? Qual será a interpretação geométrica deste objeto?
Alguns anúncios me direcionaram à leitura sobre este objeto e percebi - nas conversas dentro da academia - que ele é completamente desconhecido. Se você contar a alguém que a derivada de ordem 0,5 de uma contante c vale (1/π*c)^1/2, a reação é de espanto ou ceticismo. Estamos completamente habituados à ideia de derivadas/integrais de ordem inteira, mas o que significa derivar uma função 1,5 vezes?
Começa a ficar interessante quando você põe na mesa o fato de que, apesar de estar completamente bem definida de forma operacional, derivadas fracionais ainda não possuem uma interpretação geométrica [1]. Todavia, encontra aplicações na reologia, biologia quantitativa, eletroquímica, difusão, teoria de transporte, probabilidade, estatística, teoria do potencial e elasticidade. Outro ponto interessante é que só em 1974 foi realizado o primeiro congresso, na Universidade de New Haven, sobre o cálculo diferencial de ordem fracionária [2].
O conceito de diferenciação fracionária não é complicado de entender se você conhece a Função Gama. Quando expandimos uma função em séries de Taylor aparece no denominador um termo fatorial, então para derivações de qualquer ordem real precisamos primeiro de uma função que forneça o fatorial de qualquer número real. Essa função é a Função Gama [3].
Uma aplicação de derivadas fracionárias que encontrei na Teoria da Probabilidade e Estatística diz respeito à caracterização das funções de densidade de probabilidade (FDPs). Como exemplo tome a distribuição normal - exaustivamente utilizada em quase tudo - ela é caracterizada apenas pelo primeiro e segundo momento (média e variância). Os quatro primeiros momentos de uma FDP definem a tendência central, dispersão, assimetria e curtose, respectivamente. Porem, muitos fenômenos seguem uma lei de potencia, ver [4] e [5]. Essas distribuições têm apenas o primeiro momento definido, todos os outros divergem, então não é possível obter medidas de dispersão para tais FDPs, e, portanto, não temos uma variância ou desvio padrão definido para os fenômenos que se comportam assim.
As derivadas fracionárias fornecem uma nova forma de estimar dispersões de variáveis aleatórias que seguem uma lei de potência, pois os momentos são dados pelas derivadas da FDP. Eles coincidem na parte inteira (divergem para infinito) mas [6] mostra que outros podem ser calculados e representados dentro do espaço dos complexos, mesmo que seus momentos venham a divergir no espaço real
[1] Teodoro, G. S; Oliveira, D. S; Oliveira E. C. Sobre derivadas fracionárias. 𝗥𝗲𝘃𝗶𝘀𝘁𝗮 𝗕𝗿𝗮𝘀𝗶𝗹𝗲𝗶𝗿𝗮 𝗱𝗲 𝗘𝗻𝘀𝗶𝗻𝗼 𝗱𝗲 𝗙í𝘀𝗶𝗰𝗮. 2017. http://www.scielo.br/scielo.php?pid=S1806- 11172018000200407&script=sci_arttext&tlng=pt#aff1
[2] Teodoro, G.S; Machado J. A. T; de Oliveira, E.C. A review of definitions of fractional derivatives and other operators. 𝗝𝗼𝘂𝗿𝗻𝗮𝗹 𝗼𝗳 𝗖𝗼𝗺𝗽𝘂𝘁𝗮𝘁𝗶𝗼𝗻𝗮𝗹 𝗣𝗵𝘆𝘀𝗶𝗰𝘀. 2019. https://www.sciencedirect.com/…/artic…/pii/S0021999119301913.
[3] Função Gama. https://pt.wikipedia.org/wiki/Função_gama
[4] Princípio de Pareto https://pt.wikipedia.org/wiki/Princípio_de_Pareto…
[5] PowerLaw https://en.wikipedia.org/wiki/Power_law
[6] Bapna, I. B; Mathur, N. Application of Fractional Calculus in Statistics. 𝗠𝗮𝘁𝗵. 𝗦𝗰𝗶𝗲𝗻𝗰𝗲𝘀, Vol. 7, 2012. https://www.researchgate.net/…/links/5731a05e08ae6cca19a2ce…
