Sobre a rotação do espaço-tempo

Ontem resolvi ler qualquer coisa na Wikipédia. Logo me vi lendo sobre a sonda Gravity Probe B.

Esse satélite provou experimentalmente um efeito gravitacional chamado de Frame Dragging, uma espécie de torção do espaço-tempo que os corpos em rotacão causam no tecido do espaço-tempo.

Para isso ele utilizou 4 giroscópios feitos com as esferas mais redondas já criadas pela humanidade até então. Todas imersas em hélio líquido para evitar qualquer perturbação externa. Essas tiveram que medir um ângulo tão pequeno para provar esse efeito, que a própria história desse feito daria um artigo a parte. 

O fenômeno de Frame Dragging ocorre quando as fibras do espaço-tempo transferem a rotação de um corpo que gira para outro, arrastando consigo o próprio tecido do espaço-tempo. O efeito foi previsto pela relatividade geral em 1965, quando Roy Kerr achou uma solução exata das equações de Einstein para um buraco negro em rotação. Em um corpo estacionário a solução era conhecida desde 1915, quando Karl Schwarzschild, no fronte da 1ª Guerra Mundial, enviou uma carta para Einstein dizendo que possuia a solução.

O simples fato do buraco negro girar dificultou tanto as equações que demorou 50 anos para que alguém desse uma solução exata a esse caso. Provar que isso não era só teoria, que realmente poderia ser medido, levou mais 50 anos de avanço tecnológico. Em 2011, um artigo reuniu os dados do satélite e provou que sim, o espaço-tempo é arrastado pela rotação de um corpo celeste. 

Dois mistérios na minha mente foram sanados com a leitura desse experimento. O primeiro, sobre como a rotação de um corpo pode influenciar outro a girar. O segundo, sobre como as fibras do espaço-tempo podem rotacionar sem gerar uma tensão cada vez maior quando presas a um corpo.

Imagine uma bola presa as parades de uma caixa por várias cordas. Se você rotacionar essa bola, não importa em que direção, tensões cada vez maiores surgirão nas cordas, certo? A princípio, pensamos que essa torção apenas aumenta, mas é perfeitamente possível desfazer o torcionamento da corda sem parar de girar a bola. Para além disso, não importa quantas coordas estejam ligadas, a bola sempre poderá girar ininterruptamente sem que as cordas impeçam seu movimento de rotação. 

É totalmente contra-inuitivo imaginar essa siuação, mas é possível. Um truque famoso, conhecido como Truque do cinto de Dirac (Dirac's Bels Trick), exemplifica como uma rotação de  720º pode ser desfeita apenas por movimentos de translação. 

Essa propriedade, na verdade, surge de algo mais profundo, a conexão entre dois espaços importantes da álgebra linear que parametrizam as rotações: os espaços SO(3) e S³. O primeiro tem a topologia de uma esfera 3D, o segundo, a de uma esfera 4D.

A conexão entre esses espaços é chamada de Hopf Fibration. É essa fibração que permite às linhas do espaço-tempo, quando conectadas a um centro gravitacional de topologia fechada e simplesmente conexa (uma esfera), gire sem se entrelaçar cada vez mais em si mesma, isto é, sem gerar torcionamento constante das fibras.

Depois vou adicionar um vídeo sobre como isso ocorre.
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