Os Teoremas da Incompletude de Gödel têm origem na investigação do terceiro
problema da famosa lista de David Hilbert. Hilbert determinou, no início do século XX, quais
eram os 23 problemas matemáticos que deveriam nortear os esforços de 1900 em diante. O
terceiro problema de sua lista perguntava o seguinte: é possível provar que a matemática é
completa, consistente e decidível? Divaguemos um pouco para entender o que isto significa.
Todo cientista que se preze sabe que suas afirmações são contestáveis. Nas palavras de
Karl Popper “ciência alguma é capaz de chegar à verdade”. Sabemos que o método científico
funciona, o fato de que escrevo isto, neste dispositivo eletrônico, é uma prova cabal disto.
Todavia, por si só, o método não é capaz de se provar, isto é, não é capaz de se explicar e dizer
por que ele mesmo funciona. Na matemática, por outro lado, o método científico não se aplica,
pois ela funciona inteiramente por dedução. Isto significa que, uma vez provado algo não sobra
espaço para alterações. O Teorema de Pitágoras permanecerá válido até o final dos tempos, pois
ele foi provado verdadeiro, algo impossível de acontecer nas ciências empíricas.
Devido a este modo de operar, muitos contestaram se a matemática seria realmente
uma ciência, pois ao contrário das ciências naturais, nela é possível se atingir o conceito
de verdade inabalável. Devido a isto, no final do século XIX, se acreditava que a matemática
fosse um sistema fechado, capaz de provar a si própria, com premissas (axiomas) finitos e livres de
contradição entre si. Mas o que significa, para a matemática, ser capaz de provar a si própria? Significa que
uma vez conhecido o conjunto de axiomas que a sustentam, todo o resto poderia
ser deduzido a partir deles. Isto é, a matemática seria completa e consistente, ao ponto de ser possível escrever um programa que provasse qualquer coisa nela.
Por decidível se
entende o seguinte: se a matemática for decidível, então é possível criar um algoritmo capaz de
provar qualquer sentença – mostrar se ela é falsa ou verdadeira – a partir dos axiomas.
Pois bem, acreditando que isto era possível, muitos matemáticos partiram em busca
destes axiomas, que, se fossem descobertos e listados, tornariam a matemática a verdade
absoluta, divina, de perfeição inabalável, completa, fechada e consistente, como sempre se
sonhou. Em 1931 Kurt Gödel acabou esse fetiche divino, provando, com a força de um teorema,
que isto era impossível.
Gödel, no seu primeiro teorema, provou o seguinte: a matemática, para ser consistente,
necessariamente tem de ser incompleta. No seu segundo teorema, provou que qualquer esforço de a tornar completa, necessariamente levaria a sua
inconsistência, numa recursividade infinita de novos axiomas e contradições.
Drawing hands
Uma mão que desenha a si mesma, uma alegoria para a matemática tentando provar sua consistência.
Fonte: A imagem é do pintor Maurits Cornelis Escher (1898 - 1972).
A alegoria é uma ideia minha.
Vajamos um pouco das consequências práticas dos teoremas de Gödel e do seu
significado para o pensamento humano. Gödel trabalhava nos fundamentos da matemática,
estes fundamentos acabavam de tomar forma com o trabalho de Bertrand Russel e Alfred North
Whitehead, que escreveram uma obra de 3 volumes chamada Principia Mathematica (não
confundir com os Principia Filosofia, de Newton). Publicada em 1913, esta obra tem 2000
páginas de densa notação lógica-matemática, ela objetiva definir uma linguagem simbólica para
a lógica e um conjunto rígido de regras para a manipulação destes símbolos. Levam-se, por
exemplo, 762 páginas para provar que 1+1 é igual a 2, é quando Russel aproveita para comentar
que “a preposição acima é ocasionalmente útil”. Um recorte dessa página está na figura abaixo.
Página da prova de que 1+1 é igual a 2.
Fonte: “Math Has a Fatal Flaw” vídeo do canal Veritasium.
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=HeQX2HjkcNo&t=785s>.
Acesso em:
08/09/2021.
Pois bem, Gödel provou seus dois teoremas da incompletude em cima desse sistema
formal, uma espécie de metamatemática, neologismo que tem a mesma origem da
palavra metafísica. Este sistema deveria ser livre de contradições e completo, mas não, Gödel
mostrou que existem afirmações que não podem ser provadas. E para provar isso, Godel
encontrou uma contradição, um paradoxo que não poderia ser evitado, e mapeou esse
paradoxo para dentro da aritmética. Não vale a pena entrar em detalhes da prova aqui, que
envolve certos números primos, mas ela não é difícil de se entender, em várias das fontes que
cito é possível encontrar demonstrações informais dela. Particularmente, o vídeo no canal Veritasium é uma ótima introdução.
Continuando, quando Gödel chegou a um absurdo com os números inteiros, isto sem fazer nenhum tipo de manobra ilícita dentro das regras da matemática, muitos pensavam que este resultado não teria nenhuma consequência prática, que se tratava apenas de um malabarismo lógico.
Posteriormente, com o desenvolvimento da computação, Alan Turing mostrou que em qualquer
sistema Turing Completo (capaz de operar a aritmética), sempre existe uma preposição dentro
deste sistema que não pode ser mostrada nem falsa nem verdadeira, isto é, existe um
indecidível!
Isto foi consequência direta dos Teoremas da Incompletude.
Os computadores que utilizamos hoje em dia, seja os da NASA ou nossos celulares,
são todos sistemas Turing Completos. Isto significa que, na prática, existe uma pergunta que
pode ser feita a eles que, inevitavelmente, os farão travar. Isto é assombroso, pois não importa o
quão seguro e infalível seja o sistema, não importa o poder de computação disponível, é possível
garantir que sempre existirá uma pergunta que, quando formalizada na sequência de 1’s e 0’s da
máquina, caso seja processada, a fará travar!
Qual é essa pergunta? Pois bem, a pergunta é
exatamente perguntar, a um determinado programa em execução, se ele próprio irá rodar
indefinidamente (entrar em loop) ou irá parar. Este problema é conhecido na computação como The Halting
Problem (Problema da Parada). Sua análise lógica leva, inevitavelmente, a um paradoxo do qual não é possível fugir com a própria lógica.
Não confunda isso com o papel de um compilador, estamos falando do nível mais básico
de linguagem. Hoje, todos os programas acessíveis ao usuário rodam dentro de outros
programas, mesmo as linguagens de programação mais básicas não têm acesso ao código da
máquina. Isto impede, ou pelo menos dificulta, que o computador trave.
Em termos filosóficos, Gödel demonstrou, preto no branco, que existem limitações inescapáveis na lógica matemática. A única forma de evitá-la é assumindo um sistema aberto, com
infinitos axiomas (incompleto sempre). Mas o que significa, para a matemática, assumir ser
incompleta? Significa que dentro deste sistema sempre haverá afirmações que não podem ser
mostradas nem falsas nem verdadeiras. Desta forma, o preço da consistência é a eterna
incompletude. Para que 1+1 não seja igual a 3 (inconsistência) necessariamente a matemática
tem que ser incompleta, e isto é uma vantagem também, pois se ela é infinita na sua base axiomática, disto decorre que sempre
há mais matemática. É como se, por ser limitada, ela se expandisse infinitamente. Novamente a contradição. De certa forma, Godel garantiu a existência infinita de emprego para os matemáticos, pois não importa o quanto se estude, sempre haverá mais matemática a ser descoberta.
A importância dos Teoremas da Incompletude é tanta que algumas pessoas os utilizaram
como argumento teológico da consistência divina. Os paradoxos relacionados às características divinas surgem porque os analisamos
do ponto de vista da lógica formal (paradoxo da onipotência, paradoxo do livre arbítrio, etc.). Como
a característica principal de Deus é ser transcendente, muitos argumentam que sua lógica
também transcende a lógica humana, e com os Teoremas da Incompletude, os teólogos tem,
realmente, um argumento para dizer que sim, talvez exista algo que para sempre estará além da nossa compreensão.
O próprio Gödel chegou a escrever um trabalho em que provava a existência de Deus, mas não o publicou, pois sabia que sofreria retaliação. Por mais prepotente que isto seja, estamos falando de Kurt Friedrich Gödel, o homem que deixou Einstein em crise existencial com as soluções que encontrou na Relatividade Geral (VAIANO; MONTANARO; HARA, 2020). Com certeza, os argumentos envolvidos valeriam a leitura do texto, mas. infelizmente, a vaidade nos impede de muita coisa. Que bom que São Tomás de Aquino estava ciente disso, caso contrário, nunca teríamos acesso ao seus argumentos cosmológicos.
Para finalizar, quero deixar aqui uma última interpretação, esta é minha, mas concorda
com o que leio sobre estes teoremas. Se nossa lógica é limitada, simplesmente não há
limites para o desconhecido, significa que sempre há algo mais para se descobrir. E se o mundo
natural é descrito pela matemática, então consequentemente o conhecimento natural é infinito.
A tão divina matemática, assumida por Galileu como a própria linguagem de Deus para escrever o universo, necessariamente é imperfeita. A palavra perfeito, do latim per fecto,
significa “totalmente feito”, completa, mas isto ela não pode ser. Cito novamente
o belíssimo texto de Ricardo S. Kubrusly